Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи

  • §2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа

    1. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждое комплексное число $$z=a+ib$$ задаётся парой действительных чисел $$(a;b)$$. Эта же пара чисел может рассматриваться в качестве координат точки $$М (a,b)$$ на коор...

  • §1. Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами

    1. Алгебраическая форма комплексного числа. Для того, чтобы извлекать квадратный корень из отрицательного действительного числа, множество действительных чисел было расширено: к нему добавили новое число i, такое что $$i^2 =-1$$. Операции умн...

  • §3. Площадь четырёхугольника

    1. В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма: $$S=a\cdot h_a = b\cdot h_b,\:\:\:\:\:\: (6)$$ $$S=a\cdot b \textrm{sin}\varphi,\:\:\:\:\:\: (7)$$ где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты к н...

  • § 2. Площадь треугольника

    В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их. Пусть $$A$$, $$B$$, и $$C$$ - углы треугольника $$ABC$$;  $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - противолежащие этим углам стороны; $$h_a$$, $$h_b$$, $$h_c$$ - высоты к ...

  • §1. Свойства касательных, хорд и секущих

    1. Две касательные из одной точки. Пусть к окружности с центром в точке $$O$$ проведены две касательные $$AM$$ и $$AN$$, точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности (рис. 1). По определению касательной $$OM \perp AM$$ и $$ON \perp AN$$. В прямоуго...

  • III. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач. Задачи с использованием производной

    Пример 32 В ромбе `ABCD` из вершины `B` на сторону `AD` опущен перпендикуляр `BE`. Найти углы ромба, если `2sqrt3CE=sqrt7AC`. Решение Обозначим  сторону  ромба  через `a`,  угол `DAB` через `2alpha`. Тогда&...

  • II. Тригонометрические уравнения

    Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Формулы 1)  `sinx=a`. Если `|a|&...

  • §4. Графические методы решения задач с параметрами

    Пример 25 Для каждого значения параметра aa решите неравенство |2x+a|≤x+2|2x+a| \leq x+2. Решение Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными xx и aa и изобразим на координат...

  • §3. Аналитические методы решения задач с параметрами

    Пример 17 Найдите все значения параметра pp , при каждом из которых уравнение 8sin3x=p+9cos2x8\textrm{sin}^3{x} = p + 9\textrm{cos}{2x} не имеет решений.  Решение Перепишем уравнение в виде  8sin3x=p+9(1-2sin2x),  &...

  • I. Тригонометрические функции

    Из школьного курса алгебры хорошо известны свойства тригонометрических функций: `y=sinx`, `y=cosx` `y="tg"x`, `y="ctg"x`. Остановимся подробнее на двух свойствах этих функций. 1. Чётность и периодичность Напомним Определение 1 Функция `y=f(x)` ...

  • §2. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

    Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее. I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета. Пример 7 При каких зна...

  • §1. Простейшие задачи с параметром

    Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...

  • §6. Построение графиков функций

    В школьном курсе 7-го класса вы уже рассматривали график линейной функции y=kx+by=kx+b, графики функций y=x2y=x^2 и y=x3y=x^3. В этом году вы познакомились с еще одной функцией, а именно, с функцией y=xy=\sqrt{x}. Составим таблицу значений этой функци...

  • §4. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

    Покажем на примере, как можно тождественными преобразованиями упрощать выражения, содержащие квадратные корни. При этом мы будем пользоваться правилами, которые указали в предыдущем параграфе, как, например, правило произведения корней, правило деления...

  • §2. Уравнение $$x^2=a$$

    Если a<0a<0, то уравнение x2=ax^2=a не имеет решений. Если a=0a=0, то уравнение имеет единственное решение x=0x=0. Рассмотрим теперь уравнение x2=ax^2=a при a>0a>0.  Рассмотрим графики функций y=x2 y=x^2 \: и y=ay=a (рис. 1)....

  • §1. Определение арифметического квадратного корня

    Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 25. Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна xx, то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение x2=25x^2=25. Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и -5...

  • 4. Симметрические системы

    Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...

  • 3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения

    Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0`...

  • 2. Нелинейные системы уравнений

    В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...

  • 1. Системы линейных уравнений

    Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система  a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...